Diffusion Equation

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation

Based on Fick's first law (http://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27s_law)

Reciprocal Lattice

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_lattice

Wave Equation

Motivation

source : wave equation derivation : http://logosfoundation.org/kursus/wave.pdf

applied to : http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_theorem

Curl

Motivation

Curl은 공간 내에서의 벡터 필드에서 한 면적영역에서의 벡터 성분의 회전 성분이 어느정도 되는지를 측정하기 위해 만들어진 개념이다. 물리적으로는 흐르는 직선 전류 주변에 원형으로 회전하는 자기장이 생성되는데 전류와 자기장의 회전 성분과의 관계를 기술한다. 이와같은 동기에 기반을 두고 curl은 다음과 같이 정의된다. \[ \int_S \mathrm{curl} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{a} \equiv \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} \]

Derivation

위 식에서 infinitesimal area $\Delta a$에서의 curl 의 양은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_n\equiv \lim_{\Delta a \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta a} \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} \] $\Delta a$의 중심점 $P$를 $(x,y,z)$라고 하면 $x$축 방향으로의 curl 성분은 $\Delta y, \Delta z$를 한 변으로하는 사각형의 path integral 값과 같다. (그림 삽입 필요) \begin{align} (\mathrm{curl} \mathbf{A})_x&= \lim_{\Delta y \Delta z \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta y \Delta z} \cdot ([A_z(x,y+\frac{\Delta y}{2},z)-A_z(x,y-\frac{\Delta y}{2})]\Delta z \\ & -[A_y(x,y,z+\frac{\Delta z}{2})-A_y(x,y,z-\frac{\Delta z}{2})]\Delta y) \\ &=\frac{\partial A_z}{\partial y} -\frac{\partial A_y}{\partial z} \end{align} 나머지 curl의 $y,z$ 성분들에 대해서도 계산해 보면 각 성분은 다음과 같이 정리할 수 있다. \begin{align} (\mathrm{curl} \mathbf{A})_x&=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} \\ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_y&=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} \\ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_z&=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \\ \end{align} 이때 미분을 실행하는 부분을 따로 떼어 분리해서 쓰면 다음과 같이 $\nabla$를 벡터처럼 표현할 수 있다. \[ \nabla =\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) \] 이때 $\mathrm{curl}\mathbf{A}$은 다음과 같이 $\nabla$를 사용하여 간결하게 표현할 수 있다. \[ \mathrm{curl}\mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ A_x&A_y&A_z\\ \end{vmatrix} \]

Properties of Curl

Curl operator는 다음과 같은 성질을 지니고 있다.

1. $\nabla \times (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) =[(\nabla\cdot\mathbf{G})+\mathbf{G}\cdot\nabla] \mathbf{F} -[(\nabla\cdot\mathbf{F})+\mathbf{F}\cdot\nabla]\mathbf{G}$
2. $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}$
   (Note: $\nabla^2\mathbf{F}$ represents, in the case, the vector formed by the individual laplacian of each component of the vector in question)
3. $\nabla\times(\rho\mathbf{F})=\nabla\rho\times\mathbf{F}+\rho\nabla\times\mathbf{F}$

Schrodinger Equation 유도

Schrodinger Equation

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi=\hat{H} \Psi \] low energy, microscale에서의 물리 현상을 기술하는 Schrodinger 방정식을 여러 실험 결과들로부터 이끌어낸 postulate를 사용하여 재구성해보도록 하자.

Blackbody radiation

Blackbody는 조사되는 모든 빛들을 흡수하는 물체를 말한다. 이렇게 흡수한 전자기파는 열방사(thermal radiation)을 하며 이때 나오는 전자기파는 다양한 파장을 지니고 있으며 각 파장별로 방출되는 에너지는 분포를 지니게 된다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law Blackbody의 흑체 복사를 설명하기 위해 Planck는 blackbody 내에서 여러 파장의 전자기파들이 equilibrium 상태에 있기 위해서는 standing wave를 이루고 있어야 하며 따라서 특정 파장의 정수배 만큼의 파장을 갖는 전자기파들만 평형 상태를 이룰 수 있다.

Bohr atom

de Broglie hypothesis

Prescription of Schrodinger equation

Divergence

Divergence 정의

공간의 어느 한 지점에서의 incremental volume 내에서의 vector field의 출입 총량을 그 지점에서의 vector field에 대한 미분 연산 값으로서 표현하기 위해 수학 연산자를 만들어 내었다.
이러한 벡터 필드 연산자를 divergence 라고 하며, 한지점에서의 벡터 출입 총량이란 개념으로 다음과 같은 식을 만들 수 있다.

\[
\int_V \mathrm{div} \mathbf{A } dv = \oint_S A \cdot d\mathbf{a}
\]

이때 infinitesimal volume 공간 $\Delta V$에서의 총 벡터 출입량인 $\mathrm{div} \mathbf{A}$는 다음과 같이 정의할 수 있다.
\begin{align}
\mathrm{div} \mathbf{A} \equiv \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a}
\
\end{align}

이 infinitesimal volume $\Delta V$의 중심점을 $(x,y,z)$,  $\Delta x, \Delta y, \Delta z$를  $\Delta V$의 각 변이라고 하면  위 식의 우변의 surface integral은 다음과 같이 전개할 수 있다.


\begin{align}
\label{deriv:surf}
\oint_S \mathbf{A} d\mathbf{a} &\simeq \Delta y \Delta z \left[ A_x (x+\frac{\Delta x}{2},y,z)-A_x(x-\frac{\Delta x}{2},y,z) \right]\\
&+
\Delta z \Delta x

\left[
A_y(x,y+\frac{\Delta y}{2},z)-A_y(x,y-\frac{\Delta y}{2},z)
\right] \\


&+\Delta x \Delta y
\left[
A_z(x,y,z+\frac{\Delta z}{2}) -A_z(x,y,z-\frac{\Delta z}{2})
\right]

\end{align}

위 식의 양변을 $\Delta V =\Delta x \Delta y \Delta z$로 나누면 다음과 같이 $\mathrm{div} \mathbf{A}$  를 구할 수 있다.

\begin{align}

\mathrm{div} \mathbf{A} =& \lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_x(x+\frac{\Delta x}{2} ,y,z)-A_x(x-\frac{\Delta x}{2} ,y,z)}{\Delta x} \right]  \\

&+\lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_y(x,y+\frac{\Delta y}{2} ,z)-A_y(x,y-\frac{\Delta y}{2} ,z)}{\Delta y} \right]  \\

&+\lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_z(x ,y,z+\frac{\Delta z}{2})-A_z(x,y,z-\frac{\Delta z}{2} )}{\Delta z} \right]  \\

\end{align}

이 식을 최종적으로 정리하면 다음과 같다.

\[

\mathrm{div} \mathbf{A} =
\frac{\partial A_x}{\partial x}
+\frac{\partial A_y}{\partial y}
+\frac{\partial A_z}{\partial z}
\]

Divergence operator의 성질

1. $ \nabla \cdot (a\mathbf{F}+b\mathbf{G}) = a \nabla \cdot \mathbf{F}+b\nabla \cdot \mathbf{G} $
2. $ \nabla \cdot \rho \mathbf{F} = \nabla\rho \cdot \mathbf{F}+\rho (\nabla \cdot \mathbf{F}) $
3. $ \nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G})= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) $

Cross product과 divergence operator간의 interaction 결과로 3번째 식이 유도되는지 확인해 보자. 이를 계산하기 위해서는 먼저 cross product에 의해 두 벡터 $\mathbf{F},\mathbf{G}$가 어떻게 변화되는지 알아야 한다.

Cross product을 풀어서 계산하려면, cartesian coordinate에서의 unit basis vector의 cross product로부터 계산할 수 있다.
우선 vector addition과 multiplication은 distributivity가 성립한다고 전제한다.
그렇다면 standard basis vector $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.

• $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} \quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i} \quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j} $
• $\mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k} \quad \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i} \quad \mathbf{i}\times\mathbf{k}=-\mathbf{j} $

이를 사용하여 임의의 벡터 $\mathbf{F},\mathbf{G}$간의 곱셈을 전개하면 다음과 같다.

\begin{align} \mathbf{F} \times \mathbf{G} &= (f_1\mathbf{i}+f_2\mathbf{j}+f_3\mathbf{k}) \times (g_1\mathbf{i}+g_2\mathbf{j}+g_3\mathbf{k}) \\ &=f_1 g_1 \mathbf{i}\times\mathbf{i}+ f_2 g_2 \mathbf{j}\times\mathbf{j}+ f_3 g_3 \mathbf{k}\times\mathbf{k}+\\ & f_1 g_2\mathbf{i}\times\mathbf{j}+ f_2 g_1\mathbf{j}\times\mathbf{i} \\ & f_2 g_3\mathbf{j}\times\mathbf{k}+ f_3 g_2\mathbf{k}\times\mathbf{j} \\ & f_3 g_1\mathbf{k}\times\mathbf{i}+ f_1 g_3\mathbf{i}\times\mathbf{k} \\ &= (f_1 g_2-f_2 g_1)\mathbf{k}+(f_2 g_3-f_3 g_2)\mathbf{i}+(f_3 g_1-f_1 g_3)\mathbf{j}\\ &=(f_2 g_3-f_3 g_2)\mathbf{i}+(f_3 g_1-f_1 g_3)\mathbf{j}+(f_1 g_2-f_2 g_1)\mathbf{k}\\ &=a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} +a_3 \mathbf{k}\\ \end{align} 이제 divergence operator의 정의를 위의 제일 마지막 식에 적용하여 전개해 보면 다음과 같다. \begin{align} \nabla\cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) &= \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial a_3}{\partial z} \\ &=[(f_2^x g_3+f_2 g_3^x)-(f_3^x g_2+f_3 g_2^x)] + \\ &[(f_3^y g_1+f_3 g_1^y)-(f_1^y g_3+f_1 g_3^y)] + \\ &[(f_1^z g_2+f_1 g_2^z)-(f_2^z g_1+f_2 g_1^z)] \\ &=g_1(f_3^y-f_2^z)+g_2(f_1^z-f_3^x)+g_3(f_2^x-f_1^y) \\ &-f_1(g_3^y-g_2^z)-f_2(g_1^z-g_3^x)-f_3(g_2^x-g_1^y) \\ &=\mathbf{G} \cdot (\nabla\times\mathbf{F})-\mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})\\ \end{align}