Curl

Motivation

Curl은 공간 내에서의 벡터 필드에서 한 면적영역에서의 벡터 성분의 회전 성분이 어느정도 되는지를 측정하기 위해 만들어진 개념이다. 물리적으로는 흐르는 직선 전류 주변에 원형으로 회전하는 자기장이 생성되는데 전류와 자기장의 회전 성분과의 관계를 기술한다. 이와같은 동기에 기반을 두고 curl은 다음과 같이 정의된다. \[ \int_S \mathrm{curl} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{a} \equiv \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} \]

Derivation

위 식에서 infinitesimal area $\Delta a$에서의 curl 의 양은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_n\equiv \lim_{\Delta a \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta a} \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} \] $\Delta a$의 중심점 $P$를 $(x,y,z)$라고 하면 $x$축 방향으로의 curl 성분은 $\Delta y, \Delta z$를 한 변으로하는 사각형의 path integral 값과 같다. (그림 삽입 필요) \begin{align} (\mathrm{curl} \mathbf{A})_x&= \lim_{\Delta y \Delta z \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta y \Delta z} \cdot ([A_z(x,y+\frac{\Delta y}{2},z)-A_z(x,y-\frac{\Delta y}{2})]\Delta z \\ & -[A_y(x,y,z+\frac{\Delta z}{2})-A_y(x,y,z-\frac{\Delta z}{2})]\Delta y) \\ &=\frac{\partial A_z}{\partial y} -\frac{\partial A_y}{\partial z} \end{align} 나머지 curl의 $y,z$ 성분들에 대해서도 계산해 보면 각 성분은 다음과 같이 정리할 수 있다. \begin{align} (\mathrm{curl} \mathbf{A})_x&=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} \\ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_y&=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} \\ (\mathrm{curl} \mathbf{A})_z&=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \\ \end{align} 이때 미분을 실행하는 부분을 따로 떼어 분리해서 쓰면 다음과 같이 $\nabla$를 벡터처럼 표현할 수 있다. \[ \nabla =\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) \] 이때 $\mathrm{curl}\mathbf{A}$은 다음과 같이 $\nabla$를 사용하여 간결하게 표현할 수 있다. \[ \mathrm{curl}\mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ A_x&A_y&A_z\\ \end{vmatrix} \]

Properties of Curl

Curl operator는 다음과 같은 성질을 지니고 있다.

1. $\nabla \times (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) =[(\nabla\cdot\mathbf{G})+\mathbf{G}\cdot\nabla] \mathbf{F} -[(\nabla\cdot\mathbf{F})+\mathbf{F}\cdot\nabla]\mathbf{G}$
2. $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F}$
   (Note: $\nabla^2\mathbf{F}$ represents, in the case, the vector formed by the individual laplacian of each component of the vector in question)
3. $\nabla\times(\rho\mathbf{F})=\nabla\rho\times\mathbf{F}+\rho\nabla\times\mathbf{F}$