Divergence

Divergence 정의

공간의 어느 한 지점에서의 incremental volume 내에서의 vector field의 출입 총량을 그 지점에서의 vector field에 대한 미분 연산 값으로서 표현하기 위해 수학 연산자를 만들어 내었다.
이러한 벡터 필드 연산자를 divergence 라고 하며, 한지점에서의 벡터 출입 총량이란 개념으로 다음과 같은 식을 만들 수 있다.

\[
\int_V \mathrm{div} \mathbf{A } dv = \oint_S A \cdot d\mathbf{a}
\]

이때 infinitesimal volume 공간 $\Delta V$에서의 총 벡터 출입량인 $\mathrm{div} \mathbf{A}$는 다음과 같이 정의할 수 있다.
\begin{align}
\mathrm{div} \mathbf{A} \equiv \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a}
\
\end{align}

이 infinitesimal volume $\Delta V$의 중심점을 $(x,y,z)$,  $\Delta x, \Delta y, \Delta z$를  $\Delta V$의 각 변이라고 하면  위 식의 우변의 surface integral은 다음과 같이 전개할 수 있다.


\begin{align}
\label{deriv:surf}
\oint_S \mathbf{A} d\mathbf{a} &\simeq \Delta y \Delta z \left[ A_x (x+\frac{\Delta x}{2},y,z)-A_x(x-\frac{\Delta x}{2},y,z) \right]\\
&+
\Delta z \Delta x

\left[
A_y(x,y+\frac{\Delta y}{2},z)-A_y(x,y-\frac{\Delta y}{2},z)
\right] \\


&+\Delta x \Delta y
\left[
A_z(x,y,z+\frac{\Delta z}{2}) -A_z(x,y,z-\frac{\Delta z}{2})
\right]

\end{align}

위 식의 양변을 $\Delta V =\Delta x \Delta y \Delta z$로 나누면 다음과 같이 $\mathrm{div} \mathbf{A}$  를 구할 수 있다.

\begin{align}

\mathrm{div} \mathbf{A} =& \lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_x(x+\frac{\Delta x}{2} ,y,z)-A_x(x-\frac{\Delta x}{2} ,y,z)}{\Delta x} \right]  \\

&+\lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_y(x,y+\frac{\Delta y}{2} ,z)-A_y(x,y-\frac{\Delta y}{2} ,z)}{\Delta y} \right]  \\

&+\lim_{\Delta \rightarrow 0 } \left[ \frac{A_z(x ,y,z+\frac{\Delta z}{2})-A_z(x,y,z-\frac{\Delta z}{2} )}{\Delta z} \right]  \\

\end{align}

이 식을 최종적으로 정리하면 다음과 같다.

\[

\mathrm{div} \mathbf{A} =
\frac{\partial A_x}{\partial x}
+\frac{\partial A_y}{\partial y}
+\frac{\partial A_z}{\partial z}
\]

Divergence operator의 성질

1. $ \nabla \cdot (a\mathbf{F}+b\mathbf{G}) = a \nabla \cdot \mathbf{F}+b\nabla \cdot \mathbf{G} $
2. $ \nabla \cdot \rho \mathbf{F} = \nabla\rho \cdot \mathbf{F}+\rho (\nabla \cdot \mathbf{F}) $
3. $ \nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G})= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) $

Cross product과 divergence operator간의 interaction 결과로 3번째 식이 유도되는지 확인해 보자. 이를 계산하기 위해서는 먼저 cross product에 의해 두 벡터 $\mathbf{F},\mathbf{G}$가 어떻게 변화되는지 알아야 한다.

Cross product을 풀어서 계산하려면, cartesian coordinate에서의 unit basis vector의 cross product로부터 계산할 수 있다.
우선 vector addition과 multiplication은 distributivity가 성립한다고 전제한다.
그렇다면 standard basis vector $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.

• $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} \quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i} \quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j} $
• $\mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k} \quad \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i} \quad \mathbf{i}\times\mathbf{k}=-\mathbf{j} $

이를 사용하여 임의의 벡터 $\mathbf{F},\mathbf{G}$간의 곱셈을 전개하면 다음과 같다.

\begin{align} \mathbf{F} \times \mathbf{G} &= (f_1\mathbf{i}+f_2\mathbf{j}+f_3\mathbf{k}) \times (g_1\mathbf{i}+g_2\mathbf{j}+g_3\mathbf{k}) \\ &=f_1 g_1 \mathbf{i}\times\mathbf{i}+ f_2 g_2 \mathbf{j}\times\mathbf{j}+ f_3 g_3 \mathbf{k}\times\mathbf{k}+\\ & f_1 g_2\mathbf{i}\times\mathbf{j}+ f_2 g_1\mathbf{j}\times\mathbf{i} \\ & f_2 g_3\mathbf{j}\times\mathbf{k}+ f_3 g_2\mathbf{k}\times\mathbf{j} \\ & f_3 g_1\mathbf{k}\times\mathbf{i}+ f_1 g_3\mathbf{i}\times\mathbf{k} \\ &= (f_1 g_2-f_2 g_1)\mathbf{k}+(f_2 g_3-f_3 g_2)\mathbf{i}+(f_3 g_1-f_1 g_3)\mathbf{j}\\ &=(f_2 g_3-f_3 g_2)\mathbf{i}+(f_3 g_1-f_1 g_3)\mathbf{j}+(f_1 g_2-f_2 g_1)\mathbf{k}\\ &=a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} +a_3 \mathbf{k}\\ \end{align} 이제 divergence operator의 정의를 위의 제일 마지막 식에 적용하여 전개해 보면 다음과 같다. \begin{align} \nabla\cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) &= \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial a_3}{\partial z} \\ &=[(f_2^x g_3+f_2 g_3^x)-(f_3^x g_2+f_3 g_2^x)] + \\ &[(f_3^y g_1+f_3 g_1^y)-(f_1^y g_3+f_1 g_3^y)] + \\ &[(f_1^z g_2+f_1 g_2^z)-(f_2^z g_1+f_2 g_1^z)] \\ &=g_1(f_3^y-f_2^z)+g_2(f_1^z-f_3^x)+g_3(f_2^x-f_1^y) \\ &-f_1(g_3^y-g_2^z)-f_2(g_1^z-g_3^x)-f_3(g_2^x-g_1^y) \\ &=\mathbf{G} \cdot (\nabla\times\mathbf{F})-\mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})\\ \end{align}